Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan salah satu materi fundamental dalam matematika yang seringkali menjadi batu loncatan untuk memahami konsep matematika yang lebih kompleks. Di jenjang SMA kelas 10 semester 2, pemahaman mendalam tentang SPLDV sangatlah krusial. Salah satu metode ampuh untuk menyelesaikan SPLDV adalah metode eliminasi. Metode ini berfokus pada menghilangkan salah satu variabel dari kedua persamaan agar kita dapat menemukan nilai variabel yang tersisa, lalu menggantinya kembali untuk menemukan nilai variabel yang lain.
Artikel ini akan mengupas tuntas contoh-contoh soal SPLDV menggunakan metode eliminasi yang relevan untuk siswa SMA kelas 10 semester 2. Kita akan membahas berbagai variasi soal, mulai dari yang paling dasar hingga yang sedikit menantang, serta memberikan penjelasan langkah demi langkah agar mudah dipahami.
Apa Itu Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)?
Sebelum melangkah ke contoh soal, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang SPLDV. SPLDV adalah sekelompok dua atau lebih persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama. Bentuk umum dari sebuah persamaan linear dua variabel adalah:
$ax + by = c$
dimana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta, dan $x$ serta $y$ adalah variabel.
Sebuah sistem persamaan linear dua variabel terdiri dari dua persamaan linear seperti ini, misalnya:
Persamaan 1: $a_1x + b_1y = c_1$
Persamaan 2: $a_2x + b_2y = c_2$
Tujuan kita dalam menyelesaikan SPLDV adalah menemukan pasangan nilai $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut secara bersamaan.
Metode Eliminasi: Strategi Menghilangkan Variabel
Metode eliminasi adalah salah satu cara efektif untuk menyelesaikan SPLDV. Prinsip dasarnya adalah: jika kita menambahkan atau mengurangkan dua persamaan yang memiliki koefisien variabel yang sama (atau berlawanan), maka variabel tersebut akan "tereliminasi" (hilang).
Langkah-langkah umum dalam metode eliminasi adalah sebagai berikut:
- Periksa Koefisien Variabel: Amati koefisien dari variabel $x$ dan $y$ pada kedua persamaan.
- Samakan Koefisien (jika perlu): Jika koefisien salah satu variabel belum sama (atau belum berlawanan), kalikan salah satu atau kedua persamaan dengan suatu bilangan agar koefisien variabel yang ingin dieliminasi menjadi sama atau berlawanan.
- Jika koefisien sama, kita akan menggunakan operasi pengurangan.
- Jika koefisien berlawanan (misalnya, $+5y$ dan $-5y$), kita akan menggunakan operasi penjumlahan.
- Eliminasi Variabel: Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan sesuai dengan langkah 2. Salah satu variabel akan hilang, menghasilkan persamaan baru dengan hanya satu variabel.
- Selesaikan Persamaan Baru: Temukan nilai dari variabel yang tersisa dari persamaan baru tersebut.
- Substitusikan Nilai: Gantikan nilai variabel yang sudah ditemukan ke salah satu persamaan awal (Persamaan 1 atau Persamaan 2) untuk mencari nilai variabel yang lain.
- Verifikasi (Opsional tapi Dianjurkan): Gantikan kedua nilai variabel yang telah ditemukan ke kedua persamaan awal untuk memastikan bahwa kedua persamaan tersebut benar-benar terpenuhi.
Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam
Mari kita mulai dengan contoh-contoh soal yang bervariasi:
Contoh Soal 1: Bentuk Paling Dasar
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
$2x + 3y = 8$
$4x – 3y = 4$
Pembahasan:
-
Langkah 1: Periksa Koefisien Variabel.
- Koefisien $x$: 2 dan 4.
- Koefisien $y$: 3 dan -3.
Kita perhatikan bahwa koefisien variabel $y$ sudah berlawanan (+3 dan -3). Ini memudahkan kita untuk mengeliminasi $y$.
-
Langkah 2 & 3: Samakan Koefisien (tidak perlu) dan Eliminasi Variabel.
Karena koefisien $y$ sudah berlawanan, kita akan menjumlahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi $y$.2x + 3y = 8 + 4x - 3y = 4 ---------------- 6x + 0y = 12 6x = 12 -
Langkah 4: Selesaikan Persamaan Baru.
Dari $6x = 12$, kita dapatkan:
$x = 12 / 6$
$x = 2$ -
Langkah 5: Substitusikan Nilai.
Sekarang kita substitusikan nilai $x = 2$ ke salah satu persamaan awal. Mari kita gunakan Persamaan 1:
$2x + 3y = 8$
$2(2) + 3y = 8$
$4 + 3y = 8$
$3y = 8 – 4$
$3y = 4$
$y = 4/3$ -
Langkah 6: Verifikasi.
Mari kita cek dengan Persamaan 2:
$4x – 3y = 4$
$4(2) – 3(4/3) = 4$
$8 – 4 = 4$
$4 = 4$ (Benar)Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (2, 4/3).
Contoh Soal 2: Koefisien Perlu Disamakan (Pengurangan)
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
$3x + 2y = 10$
$x + 2y = 6$
Pembahasan:
-
Langkah 1: Periksa Koefisien Variabel.
- Koefisien $x$: 3 dan 1.
- Koefisien $y$: 2 dan 2.
Koefisien variabel $y$ sudah sama (keduanya adalah 2). Ini memungkinkan kita untuk mengeliminasi $y$ dengan pengurangan.
-
Langkah 2 & 3: Samakan Koefisien (tidak perlu) dan Eliminasi Variabel.
Karena koefisien $y$ sudah sama, kita akan mengurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1 untuk mengeliminasi $y$.3x + 2y = 10 - (x + 2y = 6) ---------------- (3x - x) + (2y - 2y) = 10 - 6 2x + 0y = 4 2x = 4 -
Langkah 4: Selesaikan Persamaan Baru.
Dari $2x = 4$, kita dapatkan:
$x = 4 / 2$
$x = 2$ -
Langkah 5: Substitusikan Nilai.
Substitusikan nilai $x = 2$ ke Persamaan 2:
$x + 2y = 6$
$2 + 2y = 6$
$2y = 6 – 2$
$2y = 4$
$y = 4 / 2$
$y = 2$ -
Langkah 6: Verifikasi.
Cek dengan Persamaan 1:
$3x + 2y = 10$
$3(2) + 2(2) = 10$
$6 + 4 = 10$
$10 = 10$ (Benar)Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (2, 2).
Contoh Soal 3: Koefisien Perlu Disamakan (Perkalian)
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
$3x – 2y = 7$
$x + 4y = 9$
Pembahasan:
-
Langkah 1: Periksa Koefisien Variabel.
- Koefisien $x$: 3 dan 1.
- Koefisien $y$: -2 dan 4.
Tidak ada koefisien yang sama atau berlawanan. Kita bisa memilih untuk mengeliminasi $x$ atau $y$. Mari kita coba mengeliminasi $y$.
-
Langkah 2: Samakan Koefisien.
Untuk mengeliminasi $y$, kita perlu membuat koefisien $y$ menjadi sama atau berlawanan. Koefisien $y$ adalah -2 dan 4. Kelipatan persekutuan terkecil dari 2 dan 4 adalah 4.- Persamaan 1: $3x – 2y = 7$. Agar koefisien $y$ menjadi 4, kita kalikan seluruh persamaan dengan 2.
$2 times (3x – 2y = 7) implies 6x – 4y = 14$ (Persamaan 1′) - Persamaan 2: $x + 4y = 9$. Koefisien $y$ sudah 4, jadi tidak perlu diubah.
Sekarang kita memiliki sistem baru:
$6x – 4y = 14$ (Persamaan 1′)
$x + 4y = 9$ (Persamaan 2) - Persamaan 1: $3x – 2y = 7$. Agar koefisien $y$ menjadi 4, kita kalikan seluruh persamaan dengan 2.
-
Langkah 3: Eliminasi Variabel.
Koefisien $y$ pada Persamaan 1′ adalah -4 dan pada Persamaan 2 adalah +4. Koefisien ini berlawanan, sehingga kita akan menjumlahkan kedua persamaan.6x - 4y = 14 + x + 4y = 9 ---------------- 7x + 0y = 23 7x = 23 -
Langkah 4: Selesaikan Persamaan Baru.
Dari $7x = 23$, kita dapatkan:
$x = 23/7$ -
Langkah 5: Substitusikan Nilai.
Substitusikan nilai $x = 23/7$ ke Persamaan 2:
$x + 4y = 9$
$(23/7) + 4y = 9$
$4y = 9 – 23/7$
Untuk mengurangkan, samakan penyebutnya: $9 = 63/7$.
$4y = 63/7 – 23/7$
$4y = 40/7$
$y = (40/7) / 4$
$y = 40 / (7 times 4)$
$y = 40 / 28$
Sederhanakan pecahan $y$: $y = 10/7$ -
Langkah 6: Verifikasi.
Cek dengan Persamaan 1:
$3x – 2y = 7$
$3(23/7) – 2(10/7) = 7$
$69/7 – 20/7 = 7$
$49/7 = 7$
$7 = 7$ (Benar)Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (23/7, 10/7).
Contoh Soal 4: Mengeliminasi Variabel $x$
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
$2x + 3y = 11$
$5x – 2y = 4$
Pembahasan:
-
Langkah 1: Periksa Koefisien Variabel.
- Koefisien $x$: 2 dan 5.
- Koefisien $y$: 3 dan -2.
Kita akan memilih untuk mengeliminasi variabel $x$.
-
Langkah 2: Samakan Koefisien.
Kelipatan persekutuan terkecil dari 2 dan 5 adalah 10.- Persamaan 1: $2x + 3y = 11$. Kalikan dengan 5.
$5 times (2x + 3y = 11) implies 10x + 15y = 55$ (Persamaan 1”) - Persamaan 2: $5x – 2y = 4$. Kalikan dengan 2.
$2 times (5x – 2y = 4) implies 10x – 4y = 8$ (Persamaan 2”)
Sekarang kita memiliki sistem baru:
$10x + 15y = 55$ (Persamaan 1”)
$10x – 4y = 8$ (Persamaan 2”) - Persamaan 1: $2x + 3y = 11$. Kalikan dengan 5.
-
Langkah 3: Eliminasi Variabel.
Koefisien $x$ pada kedua persamaan adalah sama (yaitu 10). Kita akan mengurangkan Persamaan 2” dari Persamaan 1”.10x + 15y = 55 - (10x - 4y = 8) ------------------ 0x + (15y - (-4y)) = 55 - 8 15y + 4y = 47 19y = 47 -
Langkah 4: Selesaikan Persamaan Baru.
Dari $19y = 47$, kita dapatkan:
$y = 47/19$ -
Langkah 5: Substitusikan Nilai.
Substitusikan nilai $y = 47/19$ ke Persamaan 1:
$2x + 3y = 11$
$2x + 3(47/19) = 11$
$2x + 141/19 = 11$
$2x = 11 – 141/19$
Samakan penyebutnya: $11 = 209/19$.
$2x = 209/19 – 141/19$
$2x = 68/19$
$x = (68/19) / 2$
$x = 68 / (19 times 2)$
$x = 68 / 38$
Sederhanakan pecahan $x$: $x = 34/19$ -
Langkah 6: Verifikasi.
Cek dengan Persamaan 2:
$5x – 2y = 4$
$5(34/19) – 2(47/19) = 4$
$170/19 – 94/19 = 4$
$76/19 = 4$
$4 = 4$ (Benar)Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (34/19, 47/19).
Tips dan Trik Menggunakan Metode Eliminasi
- Pilih Variabel yang Paling Mudah Dieliminasi: Jika ada variabel yang koefisiennya sudah sama atau berlawanan, fokuslah pada variabel tersebut. Ini akan menghemat langkah perkalian.
- Perhatikan Tanda: Saat menjumlahkan atau mengurangkan, pastikan Anda memperhatikan tanda positif dan negatif dari koefisien. Kesalahan di sini sangat umum terjadi.
- Sederhanakan Pecahan: Jika hasil perhitungan menghasilkan pecahan, usahakan untuk menyederhanakannya agar lebih mudah dibaca dan dihitung.
- Gunakan Persamaan yang Lebih Sederhana untuk Substitusi: Setelah menemukan nilai satu variabel, substitusikan ke persamaan awal yang memiliki angka-angka lebih kecil atau koefisien yang lebih sederhana. Ini mengurangi kemungkinan kesalahan perhitungan.
- Latihan adalah Kunci: Semakin banyak Anda berlatih, semakin terbiasa Anda dengan pola soal dan semakin cepat Anda dapat mengidentifikasi strategi yang tepat.
Kesimpulan
Metode eliminasi adalah alat yang sangat efektif untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Dengan memahami langkah-langkahnya dan berlatih berbagai jenis soal, siswa SMA kelas 10 semester 2 dapat menguasai materi ini dengan baik. Kunci keberhasilan terletak pada pemahaman konsep, ketelitian dalam setiap langkah perhitungan, dan kemauan untuk terus berlatih. Dengan menguasai SPLDV, Anda telah membuka pintu untuk berbagai aplikasi matematika yang lebih lanjut.
Tinggalkan Balasan