Mengupas Tuntas Elips: Contoh Soal Kelas 2 SMA Beserta Pembahasannya

Mengupas Tuntas Elips: Contoh Soal Kelas 2 SMA Beserta Pembahasannya
admin 0 Comments

Mengupas Tuntas Elips: Contoh Soal Kelas 2 SMA Beserta Pembahasannya

Elips, sebuah bangun ruang yang kerap kali hadir dalam berbagai fenomena alam dan aplikasi teknologi, menjadi salah satu topik penting dalam materi Geometri Analitik di jenjang SMA, khususnya kelas 2. Memahami elips tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi juga kemampuan menganalisis, memvisualisasikan, dan menerapkannya dalam menyelesaikan berbagai tipe soal. Artikel ini akan membawa Anda menyelami dunia elips melalui serangkaian contoh soal yang umum ditemui di kelas 2 SMA, lengkap dengan pembahasan mendalam yang akan mempermudah pemahaman Anda.

Mengenal Lebih Dekat Elips

Sebelum melangkah ke soal-soal, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang elips. Elips adalah himpunan titik-titik sedemikian rupa sehingga jumlah jarak dari setiap titik pada elips ke dua titik tetap (disebut fokus) adalah konstan. Bentuknya menyerupai lingkaran yang "tertarik" pada satu atau kedua sumbunya.

Secara umum, persamaan elips standar dengan pusat di $(h, k)$ adalah:

    Mengupas Tuntas Elips: Contoh Soal Kelas 2 SMA Beserta Pembahasannya

  1. Elips Horizontal (sumbu panjang sejajar sumbu x):
    $$ frac(x-h)^2a^2 + frac(y-k)^2b^2 = 1 $$
    dengan $a > b$.

  2. Elips Vertikal (sumbu panjang sejajar sumbu y):
    $$ frac(x-h)^2b^2 + frac(y-k)^2a^2 = 1 $$
    dengan $a > b$.

Di sini:

  • $(h, k)$ adalah koordinat pusat elips.
  • $a$ adalah panjang setengah sumbu panjang (jarak dari pusat ke puncak).
  • $b$ adalah panjang setengah sumbu pendek (jarak dari pusat ke ujung sumbu pendek).
  • $c$ adalah jarak dari pusat ke fokus, di mana $c^2 = a^2 – b^2$.
  • Titik puncak (Vertices) berada pada ujung sumbu panjang.
  • Titik ujung sumbu pendek (Co-vertices) berada pada ujung sumbu pendek.
  • Fokus berada pada sumbu panjang.

Contoh Soal dan Pembahasannya

Mari kita mulai dengan beberapa contoh soal yang bervariasi, mulai dari yang paling dasar hingga yang memerlukan analisis lebih lanjut.

Contoh Soal 1: Menentukan Persamaan Elips dari Informasi Dasar

Tentukan persamaan elips yang berpusat di $(2, -1)$, memiliki sumbu panjang horizontal, panjang sumbu panjang 10 satuan, dan panjang sumbu pendek 6 satuan.

Pembahasan:

  1. Identifikasi Pusat: Diberikan pusat elips $(h, k) = (2, -1)$.

  2. Identifikasi Orientasi Sumbu Panjang: Diberikan sumbu panjang horizontal. Ini berarti persamaan elips akan berbentuk $frac(x-h)^2a^2 + frac(y-k)^2b^2 = 1$ dengan $a^2$ berada di bawah suku $(x-h)^2$.

  3. Hitung Nilai $a$ dan $b$:

    • Panjang sumbu panjang adalah $2a$. Diberikan panjang sumbu panjang adalah 10 satuan, maka $2a = 10$, sehingga $a = 5$.
    • Panjang sumbu pendek adalah $2b$. Diberikan panjang sumbu pendek adalah 6 satuan, maka $2b = 6$, sehingga $b = 3$.

  4. Hitung Nilai $a^2$ dan $b^2$:

    • $a^2 = 5^2 = 25$.
    • $b^2 = 3^2 = 9$.

  5. Susun Persamaan Elips: Substitusikan nilai $h, k, a^2,$ dan $b^2$ ke dalam bentuk umum elips horizontal:
    $$ frac(x-2)^225 + frac(y-(-1))^29 = 1 $$
    $$ frac(x-2)^225 + frac(y+1)^29 = 1 $$

Jadi, persamaan elipsnya adalah $frac(x-2)^225 + frac(y+1)^29 = 1$.

Contoh Soal 2: Menentukan Unsur-unsur Elips dari Persamaan

Tentukan pusat, fokus, titik puncak, dan titik ujung sumbu pendek dari elips dengan persamaan $frac(x+3)^216 + frac(y-1)^29 = 1$.

Pembahasan:

  1. Identifikasi Pusat: Dari persamaan $frac(x+3)^216 + frac(y-1)^29 = 1$, kita dapat melihat bahwa $(x-h) = (x+3)$ dan $(y-k) = (y-1)$. Maka, $h = -3$ dan $k = 1$.
    Jadi, pusat elips adalah $(-3, 1)$.

  2. Identifikasi Orientasi dan Nilai $a^2, b^2$:

    • Karena penyebut di bawah suku $(x+3)^2$ (yaitu 16) lebih besar dari penyebut di bawah suku $(y-1)^2$ (yaitu 9), maka sumbu panjangnya horizontal.
    • $a^2 = 16 implies a = 4$.
    • $b^2 = 9 implies b = 3$.

  3. Hitung Nilai $c$: Gunakan rumus $c^2 = a^2 – b^2$.
    $c^2 = 16 – 9 = 7$.
    $c = sqrt7$.

  4. Tentukan Koordinat Fokus: Fokus terletak pada sumbu panjang, yaitu horizontal. Jarak dari pusat ke fokus adalah $c$.

    • Fokus 1: $(h-c, k) = (-3 – sqrt7, 1)$.
    • Fokus 2: $(h+c, k) = (-3 + sqrt7, 1)$.

  5. Tentukan Koordinat Titik Puncak: Titik puncak terletak pada ujung sumbu panjang, yaitu horizontal. Jarak dari pusat ke puncak adalah $a$.

    • Puncak 1: $(h-a, k) = (-3 – 4, 1) = (-7, 1)$.
    • Puncak 2: $(h+a, k) = (-3 + 4, 1) = (1, 1)$.

  6. Tentukan Koordinat Titik Ujung Sumbu Pendek: Titik ujung sumbu pendek terletak pada sumbu pendek, yaitu vertikal. Jarak dari pusat ke ujung sumbu pendek adalah $b$.

    • Ujung Sumbu Pendek 1: $(h, k-b) = (-3, 1 – 3) = (-3, -2)$.
    • Ujung Sumbu Pendek 2: $(h, k+b) = (-3, 1 + 3) = (-3, 4)$.

Jadi, pusat elips adalah $(-3, 1)$, fokusnya adalah $(-3 – sqrt7, 1)$ dan $(-3 + sqrt7, 1)$, titik puncaknya adalah $(-7, 1)$ dan $(1, 1)$, serta titik ujung sumbu pendeknya adalah $(-3, -2)$ dan $(-3, 4)$.

Contoh Soal 3: Menentukan Persamaan Elips dari Informasi Fokus dan Puncak

Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik asal (0,0), salah satu fokusnya berada di $(0, 5)$, dan salah satu puncaknya berada di $(0, 13)$.

Pembahasan:

  1. Identifikasi Pusat: Diberikan pusat elips adalah $(h, k) = (0, 0)$.

  2. Identifikasi Orientasi Sumbu Panjang:

    • Fokus berada di $(0, 5)$. Karena koordinat x-nya nol, maka fokus berada pada sumbu y.
    • Puncak berada di $(0, 13)$. Karena koordinat x-nya nol, maka puncak berada pada sumbu y.
      Ini menunjukkan bahwa sumbu panjang elips adalah vertikal. Persamaan elips akan berbentuk $frac(x-h)^2b^2 + frac(y-k)^2a^2 = 1$ dengan $a^2$ berada di bawah suku $(y-k)^2$.

  3. Tentukan Nilai $a$ dan $c$:

    • Jarak dari pusat ke puncak adalah $a$. Dari $(0, 13)$ ke pusat $(0, 0)$, jaraknya adalah 13. Jadi, $a = 13$.
    • Jarak dari pusat ke fokus adalah $c$. Dari $(0, 5)$ ke pusat $(0, 0)$, jaraknya adalah 5. Jadi, $c = 5$.

  4. Hitung Nilai $b$: Gunakan rumus $c^2 = a^2 – b^2$.
    $5^2 = 13^2 – b^2$
    $25 = 169 – b^2$
    $b^2 = 169 – 25 = 144$
    $b = sqrt144 = 12$.

  5. Susun Persamaan Elips: Substitusikan nilai $h=0, k=0, a^2 = 13^2 = 169,$ dan $b^2 = 144$ ke dalam bentuk umum elips vertikal:
    $$ frac(x-0)^2144 + frac(y-0)^2169 = 1 $$
    $$ fracx^2144 + fracy^2169 = 1 $$

Jadi, persamaan elipsnya adalah $fracx^2144 + fracy^2169 = 1$.

Contoh Soal 4: Menentukan Persamaan Elips dari Informasi Latus Rectum dan Pusat

Sebuah elips berpusat di $(1, 2)$. Panjang latus rectum (tali busur yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu panjang) adalah $frac163$ satuan. Jika sumbu panjangnya horizontal, tentukan persamaan elips tersebut.

Pembahasan:

  1. Identifikasi Pusat: Diberikan pusat elips $(h, k) = (1, 2)$.

  2. Identifikasi Orientasi Sumbu Panjang: Diberikan sumbu panjang horizontal.

  3. Hubungan Latus Rectum dengan $a$ dan $b$: Panjang latus rectum (LR) dari sebuah elips diberikan oleh rumus $LR = frac2b^2a$.

  4. Gunakan Informasi Latus Rectum: Diberikan $LR = frac163$. Maka,
    $$ frac2b^2a = frac163 $$
    $$ 6b^2 = 16a $$
    $$ 3b^2 = 8a $$
    Ini memberikan hubungan antara $a$ dan $b$.

  5. Gunakan Hubungan $c^2 = a^2 – b^2$ dan informasi lain yang mungkin ada: Dalam soal ini, kita tidak diberi informasi langsung mengenai fokus atau puncak. Namun, kita bisa menggunakan hubungan $3b^2 = 8a$ dan $c^2 = a^2 – b^2$. Seringkali, soal seperti ini akan memberikan informasi tambahan seperti jarak antara fokus, atau jarak antara puncak. Jika informasi tersebut tidak ada, kita harus mencari cara lain.

    Mari kita asumsikan ada informasi tambahan yang terlewat atau tersirat dalam soal agar bisa diselesaikan. Misalnya, jika kita tahu jarak dari pusat ke salah satu fokus adalah $c$, atau jarak dari pusat ke salah satu puncak adalah $a$. Namun, berdasarkan soal yang ada, kita memiliki satu persamaan dengan dua variabel ($a$ dan $b$). Kita perlu informasi tambahan.

    Revisi Soal untuk Kelengkapan:
    Mari kita ubah sedikit soalnya agar lebih lengkap.
    Contoh Soal 4 (Revisi): Menentukan Persamaan Elips dari Informasi Latus Rectum dan Jarak Fokus-Pusat

    Sebuah elips berpusat di $(1, 2)$. Panjang latus rectum adalah $frac163$ satuan. Jarak dari pusat ke salah satu fokus adalah 4 satuan. Jika sumbu panjangnya horizontal, tentukan persamaan elips tersebut.

    Pembahasan (Revisi):

    1. Identifikasi Pusat: $(h, k) = (1, 2)$.

    2. Identifikasi Orientasi Sumbu Panjang: Horizontal.

    3. Informasi Latus Rectum: $LR = frac2b^2a = frac163 implies 3b^2 = 8a$.

    4. Informasi Jarak Fokus-Pusat: Jarak dari pusat ke fokus adalah $c$. Diberikan $c = 4$.

    5. Hitung Nilai $a$ dan $b$:

      • Kita punya $c = 4$, jadi $c^2 = 16$.

      • Gunakan rumus $c^2 = a^2 – b^2$: $16 = a^2 – b^2$.

      • Kita juga punya $3b^2 = 8a$, sehingga $b^2 = frac8a3$.

      • Substitusikan $b^2$ ke dalam persamaan $c^2$:
        $16 = a^2 – frac8a3$
        Kalikan kedua sisi dengan 3 untuk menghilangkan pecahan:
        $48 = 3a^2 – 8a$
        $3a^2 – 8a – 48 = 0$

      • Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat untuk $a$. Kita bisa menggunakan rumus ABC atau faktorisasi. Mari kita coba faktorisasi. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $3 times -48 = -144$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $-8$. Bilangan tersebut adalah $-18$ dan $8$.
        $3a^2 – 18a + 10a – 48 = 0$
        $3a(a – 6) + frac103a – 16 = 0$ (Ini tidak memfaktorkan dengan baik, mari coba metode lain atau cek ulang).

        Metode Rumus ABC: $a = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$
        Untuk $3a^2 – 8a – 48 = 0$, maka $A=3, B=-8, C=-48$.
        $a = frac-(-8) pm sqrt(-8)^2 – 4(3)(-48)2(3)$
        $a = frac8 pm sqrt64 + 5766$
        $a = frac8 pm sqrt6406$
        $a = frac8 pm sqrt64 times 106$
        $a = frac8 pm 8sqrt106$
        $a = frac4 pm 4sqrt103$

        Karena $a$ adalah panjang, nilainya harus positif.
        $a = frac4 + 4sqrt103$. Nilai ini agak rumit. Mari kita periksa kembali perhitungannya atau kemungkinan ada kesalahan dalam pemahaman soal.

        Kemungkinan Kesalahan dalam Pembuatan Soal: Soal yang menghasilkan nilai $a$ yang tidak bulat seringkali dihindari dalam soal standar.

        Mari kita coba pendekatan lain atau asumsi yang lebih umum:
        Jika soalnya dirancang agar $a$ dan $b$ bulat, maka kita perlu mencari kombinasi $a, b, c$ yang memenuhi.
        $c=4$.
        $c^2 = a^2 – b^2 implies 16 = a^2 – b^2$.
        $LR = frac2b^2a = frac163 implies 3b^2 = 8a implies b^2 = frac8a3$.

        Substitusi $b^2$: $16 = a^2 – frac8a3$.
        $48 = 3a^2 – 8a$.

        Jika kita mencoba nilai $a$ yang umum (misalnya, bilangan bulat yang lebih besar dari $c=4$ dan menghasilkan $b^2$ yang bisa dibagi 3), misalnya $a=6$.
        $b^2 = frac8 times 63 = frac483 = 16$. Maka $b=4$.
        Cek dengan $c^2 = a^2 – b^2$: $c^2 = 6^2 – 4^2 = 36 – 16 = 20$.
        $c = sqrt20 = 2sqrt5$. Ini tidak sama dengan $c=4$.

        Kembali ke Soal Asli (jika memang tidak ada informasi tambahan):
        Jika soalnya hanya memberikan latus rectum dan pusat, tanpa informasi tambahan tentang jarak fokus atau puncak, maka soal tersebut tidak memiliki solusi tunggal untuk $a$ dan $b$. Ada tak terhingga banyak elips dengan pusat dan panjang latus rectum yang sama tetapi memiliki bentuk yang berbeda (nilai $a$ dan $b$ yang berbeda).

        Asumsi Soal yang Benar untuk Siswa SMA:
        Biasanya soal seperti ini akan memberikan cukup informasi untuk mendapatkan nilai $a$ dan $b$ yang relatif mudah. Mari kita ubah kembali soalnya dengan nilai yang lebih "bersih".

        Contoh Soal 4 (Modifikasi Lebih Lanjut):
        Sebuah elips berpusat di $(1, 2)$. Panjang sumbu panjangnya adalah 10 satuan. Jarak dari pusat ke salah satu fokus adalah 3 satuan. Jika sumbu panjangnya horizontal, tentukan persamaan elips tersebut.

        Pembahasan (Modifikasi Lebih Lanjut):

        1. Pusat: $(h, k) = (1, 2)$.

        2. Orientasi: Horizontal.

        3. Panjang Sumbu Panjang: $2a = 10 implies a = 5$. Maka $a^2 = 25$.

        4. Jarak Fokus-Pusat: $c = 3$. Maka $c^2 = 9$.

        5. Hitung Nilai $b$: Gunakan rumus $c^2 = a^2 – b^2$.
          $9 = 25 – b^2$
          $b^2 = 25 – 9 = 16$
          $b = sqrt16 = 4$. Maka $b^2 = 16$.

        6. Susun Persamaan Elips:
          $$ frac(x-h)^2a^2 + frac(y-k)^2b^2 = 1 $$
          $$ frac(x-1)^225 + frac(y-2)^216 = 1 $$

        Jadi, persamaan elipsnya adalah $frac(x-1)^225 + frac(y-2)^216 = 1$.

Contoh Soal 5: Soal Aplikasi (Menentukan Titik pada Elips)

Sebuah jembatan berbentuk setengah elips melintasi sungai. Jarak antara dua ujung jembatan adalah 100 meter, dan ketinggian maksimum jembatan dari permukaan sungai adalah 20 meter. Tentukan persamaan elips yang menggambarkan bentuk jembatan tersebut, dengan permukaan sungai sebagai sumbu x dan titik tengah bentangan jembatan sebagai titik asal (0,0).

Pembahasan:

  1. Pemahaman Soal: Jembatan berbentuk setengah elips. Ketinggian maksimum adalah titik tertinggi dari elips. Jarak antar ujung adalah panjang sumbu yang mendatar.

  2. Menentukan Sistem Koordinat: Permukaan sungai sebagai sumbu x, dan titik tengah bentangan jembatan sebagai titik asal (0,0). Ini berarti pusat elips berada di $(0,0)$.

  3. Identifikasi Pusat: Pusat elips adalah $(h, k) = (0, 0)$.

  4. Identifikasi Orientasi Sumbu Panjang: Bentangan jembatan adalah 100 meter. Karena ini adalah bentangan mendatar, maka sumbu panjangnya horizontal. Persamaan elips akan berbentuk $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$.

  5. Tentukan Nilai $a$ dan $b$:

    • Jarak antara dua ujung jembatan adalah 100 meter. Ini adalah panjang sumbu panjang, $2a$.
      $2a = 100 implies a = 50$.
      $a^2 = 50^2 = 2500$.
    • Ketinggian maksimum jembatan dari permukaan sungai adalah 20 meter. Karena pusat elips berada di $(0,0)$ dan permukaan sungai adalah sumbu x, maka ketinggian maksimum ini merepresentasikan jarak dari pusat ke ujung sumbu pendek (vertikal). Jadi, $b = 20$.
      $b^2 = 20^2 = 400$.

  6. Susun Persamaan Elips: Substitusikan nilai $a^2$ dan $b^2$ ke dalam bentuk umum elips horizontal dengan pusat di $(0,0)$:
    $$ fracx^22500 + fracy^2400 = 1 $$

    Karena jembatan hanya setengah elips (bagian atas), maka persamaan ini menggambarkan seluruh elips, dan kita akan menggunakan bagian yang $y ge 0$.

Jadi, persamaan elips yang menggambarkan bentuk jembatan tersebut adalah $fracx^22500 + fracy^2400 = 1$.

Tips Sukses Mengerjakan Soal Elips

  • Visualisasikan: Selalu coba gambar sketsa elips berdasarkan informasi yang diberikan. Ini sangat membantu dalam menentukan orientasi sumbu panjang dan lokasi pusat.
  • Pahami Definisi: Ingat kembali definisi elips dan bagaimana parameter $a, b, c$ berkaitan satu sama lain.
  • Identifikasi Informasi Kunci: Perhatikan dengan cermat informasi seperti pusat, fokus, puncak, panjang sumbu, dan latus rectum.
  • Perhatikan Orientasi: Apakah sumbu panjangnya horizontal atau vertikal? Ini krusial dalam memilih bentuk persamaan yang tepat.
  • Latihan Soal Bervariasi: Kerjakan berbagai jenis soal untuk membiasakan diri dengan berbagai skenario dan trik penyelesaian.
  • Teliti dalam Perhitungan: Kesalahan kecil dalam perhitungan aljabar dapat berdampak besar pada hasil akhir.

Kesimpulan

Elips, dengan karakteristiknya yang unik, menawarkan berbagai tantangan menarik dalam soal-soal matematika. Dengan pemahaman yang kuat tentang definisi, rumus dasar, dan latihan yang konsisten, Anda akan mampu menguasai topik ini. Contoh-contoh soal yang telah dibahas di atas mencakup berbagai tipe soal yang umum ditemui di kelas 2 SMA, mulai dari menentukan persamaan hingga menganalisis unsur-unsur elips. Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk mengeksplorasi lebih jauh tentang aplikasi elips dalam kehidupan nyata.

admin
https://akparpkbiak.ac.id

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *